허수(Imaginary Numbers)에 대하여, 실수 너머의 수학적 발견과 역사

고등학생 때 복소수를 처음 접하다 보면 이런 건 왜 하는 거지? 하는 생각을 했던 것 같습니다. 아무 이유나 근거 없이 그냥 배우던 수학이니 현실에서 관찰할 수 없었던 허수라니.. 이렇듯, 허수(Imaginary Number)라는 개념을 처음 접할 때 당황스러울 수 있습니다. 이름부터 가상의 숫자 혹은 존재하지 않는 숫자처럼 들리기 때문이죠. 하지만 이것은 수학사에서 붙여진 별칭에 불과합니다. 실제로는 완전히 존재하지 않는 값이 아니라, 우리가 익숙한 실수 체계를 확장하여 만들어낸 새로운 숫자 공간이라 할 수 있습니다.

허수(Imaginary Numbers)에 대하여

 

허수(Imaginary Numbers)

  허수의 탄생 배경

고대나 중세 수학자들은 음수의 제곱근이 존재한다는 사실 자체를 인정하기 어려워했습니다. 왜냐하면, 그 시절의 '수' 개념은 실제로 존재하는 사물(예: 사과의 개수)을 세는 도구로 여겨졌기 때문입니다. 하지만 16세기 이탈리아의 수학자들이 3차 방정식을 풀어야 하는 상황이 닥치자, 중간 계산 과정에서 \( \sqrt{-1} \) 형태가 출현했고 이를 더 이상 무시할 수 없게 되었습니다. 이때부터 사람들은 '말이 안 된다'라고 여겼던 \( \sqrt{-1} \)을 '허수’라 부르며, 일종의 '독특한 기호'로 취급하기 시작합니다.

 

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  허수를 발견한 이유

그럼 왜 3차 방정식을 풀다가 굳이 허수를 고려해야 했을까요?

예를 들어, 어떤 복잡한 방정식을 풀다 보면 중간 단계에서 음수의 제곱근이 나타나는 경우가 있습니다. 만약 이 값을 무시하거나 버린다면 해를 구할 수 없게 됩니다. 실제로 3차 방정식에 대한 일반해를 구하는 과정에서, 일시적으로 허수가 등장했다가 최종 해는 실제 실수 값으로만 이루어지는 경우가 많았습니다.

이처럼 '어떻게든 필요하니' 이용하다 보니, 허수를 완전히 배제하고는 현대 수학을 온전히 다룰 수 없다는 사실이 명확해졌습니다. 허수는 처음에는 ‘불가능한 것’처럼 보였지만, 문제 해결을 위해 ‘필수’가 된 존재였죠.

 

  허수의 정의와 개념

수학에서는 \( \sqrt{-1} \)을 기호 \( i \)로 정의합니다. 즉, \[ i = \sqrt{-1} \quad \text{(또는 } i^2 = -1\text{)} \] 이렇게 약속해 버리는 순간, 우리의 수 체계는 실수(0, 양수, 음수)만으로 이루어졌던 세계에서 한 차원 더 확장됩니다. 이 \( i \)를 이용하면, 예를 들어 \( 2 + 3i \) 같은 형태를 만들 수 있는데, 이를 ‘복소수(Complex Number)’라 합니다. 복소수는 ‘실수부(2)’와 ‘허수부(3i)’로 이루어지며, 우리에게 더 풍부한 방정식 풀이와 수학적 도구를 제공합니다.

 

 

 

 

  허수의 활용 분야

사실 대부분의 일반인은 일상에서 직접 허수를 다루지 않습니다. 하지만 현대 기술 곳곳에서 허수와 복소수는 중요한 역할을 담당하고 있습니다.

• 전기 공학 및 파동 분석: 전압과 전류를 시간축에 따라 표현할 때, 사인 및 코사인 형태의 주기함수가 사용됩니다. 이를 복소지수함수(오일러 공식을 응용)로 간단하게 다룰 수 있기 때문에 회로 해석, 파동 해석 등에 허수가 필수적입니다.
• 신호 처리: 디지털 신호나 통신 기법에서, 주파수 분석(푸리에 변환)을 할 때 복소수가 사용됩니다. 예: 오디오 신호, 영상 압축 등.
• 물리학(양자역학 등): 입자의 움직임이나 파동 함수를 표현할 때, 복소함수를 사용하는 경우가 많습니다. 허수부가 없으면 수식적으로 표현하기 매우 까다로운 현상들이 많죠.
• 컴퓨터 그래픽 및 프랙탈(Fractal): 망델브로 집합(Mandelbrot Set) 등 아름다운 프랙털 이미지를 생성할 때 복소수의 반복 함수를 활용합니다.